等 比 数列 の 和 シグマ。 Σ等比数列

数学の質問です。写真のΣの数列の和の公式が、とても複雑でや...

等 比 数列 の 和 シグマ

数列がわからないという人にはいくつかパターンがあります。 もちろんややこしい問題も数列の問題には多いですが、基本的な所でいくつか抜け落ちがあるんです。 ちょっと確認して等比数列の説明に入ります。 数列が苦手になる原因を確認 数列が苦手になる原因は、等差数列も同じですが、 規則性を見ようとせず計算で済まそうとする勉強をしていることです。 これはこれで強力な計算力があればできないこともありません。 しかし、等比数列には計算力にプラスするものがあるのです。 等差数列と違って等比数列の和の公式は覚えていなければ使えません。 実際にその場で導くことはできますがそれができれば覚える方がはやいかもしれませんけどね。 笑 等比数列の公式を覚えるのは等差数列と同時期なので使い分けできる前に訳がわからなくなっていることも原因です。 数列でつまづく人はここが第1のポイントになっていますので気をつけておくと良いです。 さらに数列は問題のパターンが多いです。 逆に言えば基本公式とパターンをいくつか覚えてしまえば何とかなるのですが、 そのパターンの多くが 等比数列の基本がもとになっています。 等比数列でつまづいたままなので後々の数列がやりづらい大きな原因になっているのです。 ということで、等比数列はちょっとだけ念入りに基本確認をしておいてください。 等比数列の一般項と例題 例題で等比数列の一般項を説明しておきます。 和を求めますが公式は使いません。 第3項が12,第4項が-24である等比数列の第5項から第9項までの和を求めよ。 等差数列では「初項」と「公差」を先ず求めておくというのが問題に関係なくやっておきたい手順でしたが、 等比数列では「 初項」と「 公比」です。 問題に「等比数列」とありますので等差数列同様、初項、公比は、 問題に聞かれなくても求めておきましょう。 問題を解く前に、初項,公比を出しておきましょう。 しかし、出てくる結果としての公式より、 求め方を覚えておくと等比数列では無い場合でも使えるので、 数列でちょっと難易度が上がる問題でも対応できるようになれます。 このとき下のように項を1つずらせて書くのがコツで、 これが後々使える「技法」となります。 ) この場合分けがあるから等比数列の和をややこしくしています。 たしかに大切なことなのですがこれで数列を捨てたくはないので、 公比が1でなければ通用するので下の公式を覚えておく、からで良いですよ。 しかし、導き方、および初項からではない和、を求めるときにも使えるように十分な基礎練習をしっかりしておくと良いですね。 数列は規則性のある数を扱う最も数学的な要素が大きい単元ですので、 公式に頼るのではなく、 規則性を見抜き公式を利用する というのを練習しておけば他の単元でもやるべきことが見えてくると思います。 試す、 具体的に書き出す、それを基本にして下さい。 規則性と等比数列の例題 ここまで来れば、少しは数列の基本は見えてきたと思います。 「規則性を見る」、ですよね。 1つ例題で見てみましょう。 数列2,22,222,・・・ がある。 数列2,22,222,・・・ はどんな規則性を見るわけですが、いろいろな見方ができます。 初項 2 第2項 2+20 第3項 2+20+200 第4項 2+20+200+2000 ・・・ となっています。 馬鹿にしているのではありません。 ここまでがたいへんなのです。 書き出すか、書き出さないか、の大きな違いによって苦手にさせられてきたのですからね。 後はちょっとした計算力をつければ解決します。 和が一般項になっているのでややこしく感じますね。 ではこの和を等比数列の和の公式で計算してみましょう。 一気に答えにはたどり着くことはできません。 1つひとつ、時間はかかりますが処理してください。 等差数列、等比数列の基本はできた。 基本ではありますが良くでます。 確率の問題でよく見る玉を同時に取り出す問題の説明をします。 ここで注意するのは同じ色の玉がある場合ですが、あつかいかたを間違えなければそれほど多くの考え方を必... 対数の計算公式を一覧にしておきます。 底の変換と真数の掛け算割り算を変形できれば計算問題は解けますので、方針さえ固定してしまえばそれほど難しいところではありま... 極大値や極小値などの極値は関数によっては必ず存在するわけではありません。 極値を持つ条件と極値を持たない条件が良く聞かれるので説明しておきます。 極値とはど... ベクトルの大きさを求めることと、線分の長さを求めることは同じことといっても良いですが、 ベクトルの内積を利用する際の求め方でやってはいけない注意点とともに基本...

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数学B(数列):等比数列(一般項)

等 比 数列 の 和 シグマ

等比数列とは「同じ数をかけ続ける数列」 まず、「等比数列とは何なのか」ということについて説明します。 (初項とは、数列の最初の項のことです) このように、「初項にある一定の数をかけ続けていった数列」を、等比数列といいます。 ちなみにこの「一定の数」のことを、「公比」と呼びます。 記述問題の解答を書く際に使えるので、覚えておいてください。 「初項」「公比」だけを押さえれば一般項は求められる いま、等比数列とは「初項にある一定の数をかけ続けていった数列」といいました。 つまり、初項と公比だけわかれば、何番目に何の数があるかがわかるのです! この、「何番目に何の数があるかわかる」式を、「一般項」といいます。 たとえば 3, 6, 12, 24, 48… という、初項3、公比2の等比数列があるとします。 同じ「3, 6, 12, 24, 48... 」の数列で考えていきましょう。 初項と公比は、数列を見ればすぐわかりますね。 ここでは初項は3, 公比は2です。 では、一般項、つまりn番目の項に達するためには、何回2をかければいいのでしょうか。 上の図をみてください。 n番目の数を出すには、公比を n-1 回かける必要があります。 間の数は木の数よりも1つ少ないという、植木算と同じですね。 以上より、一般項、つまりn番目の項は「初項3に公比2をn-1回かけた数」なので、 となります! これを一般化すると、初項a, 公比rの等比数列における一般項は です! 等比数列の和の公式 では、次に等比数列の和の公式について説明します。 和の公式を証明! 等比数列で、初項から第n項までの項をすべて足し合わせると、いくつになるでしょうか? 実は、和を求めるためにはいちいち足していく必要はなく、 この式に代入すれば求められるのです! ここではこの、「和の公式」を説明していきます! 初項a, 公比rの等比数列の、初項から第n項までの項をすべて足し合わせたものをSをおきます。 ですね。 ここで、この等比数列の項すべてにrをかけます。 つまり、 です。 ここで、rS - Sを考えると、 こうなります。 よって、初項から第n項までの項の和Sは、 で表されるのです! aとかrとかnとか、ごっちゃになって間違えそう…というあなた。 そんなときは、この公式を日本語で覚えることをおすすめします。 aは初項、rは公比ですね。 よって、 がいえます! 私はこれで覚えていました。 文字で公式を覚えようとすると、文字を覚え間違っていたり、間違った数値を入れてしまったり、自分が何をしているのかわからなくなったりしますが、 日本語で覚えると、そういった心配があまりないのでおすすめです! 和の公式が出てくる問題で練習しよう ここでは、実際に和の公式を使って問題を解いてみましょう。 この式はどちらも初項と公比で表せますね。 初項をa, 公比をrとおいて考えてみましょう。 漸化式の問題で等比数列は頻出 漸化式の問題では、等比数列は頻出です。 ここでは解答だけを載せますが、漸化式について詳しく勉強したい方は をみてください。 等比中項を見逃さない 等比数列の中の連続する3項を取り出してきて、それを小さい順にA, B, Cとおきます。 これは公比rでA,B,Cの関係性を表してみれば簡単にわかります。 これを使って、問題を解いてみましょう。 まずはxだけ見ると、 となっていますね。 つまり等比数列です。 次に係数をみてみると、 1, 2, 3, …, n-1, n です。 公差1の等差数列になっていますね。 さて、ここでSnにxをかけるとどうなるでしょうか。 このようになります。 項は1つずつずれていく、というようなイメージです。 ここで思い出してほしいのが、「係数が公差1の等差数列である」ということです。 上の式をみながら、同じ項の係数を見比べてみてください。 項が1つずれているので、係数も1ずつずれていますね。 ここで、xSn-Snを考えてみると、 ものすごくごちゃごちゃしていますが、「…」なしにSnを求めることができました。 文字がたくさん出て来る等比数列の問題は、だいたいこういう風にごちゃごちゃした答えになることが多いので、計算ミスをしないよう気をつけてください!.

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数列の解き方。公式のような等差数列と等比数列の基本パターン。

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等差数列とは? 「等差数列とはなにか」ということがきちんと理解できていれば、あとで紹介する公式は自然に導けるので、覚える必要がありません。 反対に、これが理解できていない限り、等差数列をマスターすることは絶対にできません。 数学のどんな単元においても、定義は非常に大事です。 きちんと理解しましょう! 等差数列とは「はじめの数に、一定の数を足し続ける数列」 簡単にいえば、等差数列とは「はじめの数に、一定の数を足し続ける数列」です。 たとえば、 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20… この数列は、はじめの数(2)に、一定の数(3)を足し続けていますね。 こういったものが等差数列です。 一定の数を足し続けているわけですから、隣同士の項(2と5、14と17など)はその一定の数(3)だけ開いているわけです。 これが、「等差数列」、つまり「差が等しい数列」と呼ばれる所以です。 等比数列と何がちがう? 等差数列と一緒によく出てくるのが等比数列ですが、等差数列とは何が違うのでしょうか。 等差数列とは「はじめの数に、一定の数を足し続ける数列」、 一方、 等比数列とは「はじめの数に、一定の数をかけ続ける数列」 です。 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… この数列は、はじめの数(2)に、一定の数(2)をかけ続けていますね。 こういったものが等比数列です。 等差数列と等比数列は見間違えやすいので、常に注意してください。 等差数列の公式の意味を説明! ではいよいよ公式を説明していきます。 とはいえ、先に述べた「等差数列とは、はじめの数に、一定の数を足し続ける数列」ということがわかっていれば大丈夫です。 公式を暗記するのではなく、なぜその公式が導けるのか?というところを理解するようにしましょう。 「初項」「公差」だけを押さえれば等差数列の一般項は求められる 等差数列の問題でよく出てくるのが「一般項」を求める問題です。 一般項とは、「数列の中のn番目の数を求める式」のこと(ただしnは自然数)。 さて、さきほどから何度もくりかえしていますが、等差数列とは、はじめの数に、一定の数を足し続ける数列のこと。 つまり、この「はじめの数」と「一定の数」、また「一定の数を何回足したか」、この3つを求めることができれば、数列の中のn番目の数を求めることができるのです。 そしてそれは、一般項を求められるということでもあります。 ここでの、「はじめの数」のことを「初項」、「一定の数」のことを「公差」と呼びます。 具体例を見てみましょう。 【問題】3, 7, 11, 15, 19, 23,,, 以上の等差数列の一般項求めよ。 この2つは数列を見ればすぐわかりますね。 では、一般項、つまり数列の中のn番目の数に至るまでに、何回4を足す必要があるのでしょうか? 上の図を見てください。 n番目の数を出すには、公差を n-1 回足す必要があります。 間の数は木の数よりも1つ少ないという、植木算と同じですね。 これを一般化してみましょう。 これが、等差数列の一般項を求める公式です。 等差数列のコツ:両脇を足したら真ん中の2倍? もう一つよく出てくるのが、「等差数列における連続する3つの項について、右端の数と左端の数の和は真ん中の数の2倍」ということ。 つまり、等差数列において「... a, b, c,... これは納得しやすいのではないでしょうか。 この法則を使った問題を解いてみましょう。 【問題】等差数列をなす3数があり、その和は15、積は105である。 この3数を求めよ。 【解説】3数をそれぞれa, b, cとおく。 ただし、a<b<cである。 まずは、以下の数列で考えていきましょう。 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 これは初項1、公差2の等差数列です。 この9つの項の和(今後Sと表します)を求めるには、どうしたらいいのでしょうか? ちなみに1つ1つ地道に足していくのは今回はナシです。 ここで、前後ひっくり返した式を用意してみましょう。 一般化した例で考えてみましょう。 」が入っている時点で数学的に厳密ではありません。 興味のある方は数学的に厳密な証明を考えてみてください。 シグマを使うやり方、項数が偶数である場合と奇数である場合に分けるやり方などがあります。 等差数列の問題を解いてみよう では、等差数列の公式をさらったところで、問題に取り組んでみましょう。

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